Ebenengleichungen

Ebenen können auf verschiedene Arten beschrieben werden:

• Parameterdarstellung:
  • $E: \vec x = \vec x_1 + s \vec a + t \vec b$   mit $s, t \in \textrm{I}\!\textrm{R}$
    (Ebene durch den Endpunkt von $\vec x_1$ aufgespannt von den linear unabhängigen Vektoren $\vec a$ und $\vec b$)
  • $E: \vec x = \vec p_1 + r \cdot ( \vec p_2 - \vec p_1 ) + s \cdot ( \vec p_3 - \vec p_1)$   mit $r, s \in \textrm{I}\!\textrm{R}$
    (Ebene durch drei Punkte P₁, P₂, P₃, die nicht auf einer Geraden liegen).
• Koordinatendarstellung (parameterfreie Darstellung)
  • E: ax + by + cz = d
  • $E: < \vec n, \vec x \gt = d$ mit $\vec n = (a, b, c) \ne (0, 0, 0)$
    ($\vec n$ ist Normalenvektor von E)
  • $E: < \vec x - \vec x_1 , \vec n \gt = 0$
    (Ebene aufgespannt durch Endpunkt von $\vec x_1$, mit dem Normalenvektor $\vec n$).
• Hessesche Normalform:
  Die Hessesche Normalform ist ein Spezialfall der Koordinatendarstellung $E: < \vec n, \vec x \gt = d$.
  Es muß gelten : $\vert \vec n \vert = 1$, $d \ge 0$.
  
  Ist $E: < \vec n, \vec x \gt = d$ gegeben in Hessescher Normalform (HNF), dann ist d der Abstand der Ebene zum Nullpunkt und $\vec n$ zeigt vom Ursprung zu E hin.

Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind.

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen ist der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren.