Abbildungen (Funktionen)

Wir betrachten $f : A \to B$
$a \to f(a) \in B$ heißt eine Abbildung von A auf B.
A ist die Definitionsmenge, B der Wertebereich von f.

• $f : A \to B$ heißt injektiv $:\Longleftrightarrow x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ (eineindeutig)

  
  
  f ist nicht injektiv, wenn es zwei verschiedene Elemente aus A mit dem gleichen Funktionswert gibt.

• $f : A \to B$ heißt surjektiv $:\Longleftrightarrow \forall \, b \in B \, \exists \, a \in A$ s.d. f(a) = b

  f(A) = B (f ist Abbildung auf)

  f ist nicht surjektiv, wenn es ein Element aus B gibt, das nicht Funktionswert ist.

• f heißt bijektiv $:\Longleftrightarrow$ f ist injektiv und surjektiv.

Inverse:
ist f bijektiv, dann heißt $f^{-1} : B \to A$ die Inverse zu f, wenn f^-1(f(x))=x.

Komposition (Verkettung):
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ (lies: g nach f)

$g \circ f \ne f \circ g$ !

Iteration:
$x_{n+1} = f(x_n) = f(f(x_{n-1})) = f(f( \ldots (f(x_0)) \ldots )) = f^n(x_0) = (f \circ f \circ \ldots \circ f)(x_0)$