Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

• Sind $\vec a, \vec b$ linear unabhängig, dann ist das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ definiert als der Vektor mit folgenden drei Eigenschaften:
  • $\vec a \times \vec b$ steht senkrecht auf $\vec a$ und $\vec b$.
  • $\vec a, \vec b, \vec a \times \vec b$ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
  • $\vert \vec a \times \vec b \vert = \vert\vec a\vert \cdot \vert\vec b\vert \cdot \sin \varphi$ mit $\varphi = \angle(\vec a, \vec b)$.
• Sind $\vec a, \vec b$ linear abhängig, so definiert man $\vec a \times \vec b = \vec 0$.

Geometrische Interpretation:
Die Länge des Vektorprodukts $\vert\vec a \times \vec b\vert$ ist die Fläche des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms.

Das Vektorprodukt kann aus den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ wie folgt berechnet werden:

$$\vec a \times \vec b = \left( \begin{array} {c} a_1 \\ a_2... ...a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{array} \right).$$

Rechenregeln für das Vektorprodukt:

$\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)$

$\vec a \times \vec b = \vec 0 \Leftrightarrow \vec a, \vec b$ sind linear abhängig.

$(\lambda \vec a) \times \vec b = \vec a \times (\lambda \vec b) = \lambda (\vec a \times \vec b)$

$\vec a \times ( \vec b + \vec c ) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c$

Siehe auch R S. 134 (auch mehrfache Produkte etc.)