Schmidt'sches Orthogonalisierungsverfahren (R S. 130)

Den Übergang von Basisvektoren einer Hülle zu einer orthogonalen Basis derselben Hülle nennt man Orthogonalisierung .

Durchführung der Orthogonalisierung beliebiger Basen mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren:

Ist $L = L(\vec{a}_1,\dots,\vec{a}_m)$ die lineare Hülle der m Vektoren $\vec a_1, \dots, \vec a_m \in \textrm{I}\!\textrm{R}^n$,so läßt sich schrittweise eine orthogonale Basis ($\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_k$) von L gewinnen:

• Ist $\vec{a}_1 \not= \vec{0}$ (sonst nehme man einen anderen Vektor), so setzt man: $\vec{b}_1 := \vec{a}_1$,
• Ist $\vec{a}_2 \notin$ $L(\vec{a}_1) = L(\vec{b}_1)$, so setzt man: $\vec{b}_2 := \vec{a}_2 - \frac{\vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1}{\vec{b}_1^2} \vec{b}_1$.
• Ist $\vec{a}_3 \notin$ $L(\vec{a}_1, \vec{a}_2) = L(\vec{b}_1, \vec{b}_2)$, so setzt man: $\vec{b}_3 := \vec{a}_3 - \frac{\vec{a}_3 \cdot \vec{b}_1}{\vec{b}_1^2} \vec{b}_1 - \frac{\vec{a}_3 \cdot \vec{b}_2}{\vec{b}_2^2} \vec{b}_2$.

usw ...

Allgemein setzt man: $\vec{b}_{l+1} := \vec{a}_{l+1} - \frac{\vec{a}_{l+1} \cdot \vec{b}_1}{\vec{b}_1... ...\vec{b}_1 - \dots - \frac{\vec{a}_{l+1} \cdot \vec{b}_l}{\vec{b}_l^2} \vec{b}_l$.

Das Verfahren bricht ab, wenn $L(\vec{a}_1,\dots,\vec{a}_m) = L(\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_m)$ ist, wenn man also keinen Vektor $\vec{a}_{k+1}$mehr findet, der nicht in $L(\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_m)$ liegt.

Aus der Orthogonalbasis $(\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_k)$ erhält man durch Normieren eine Orthonormalbasis $(\frac{\vec{b}_1}{\vert\vec{b}_1\vert},\dots, \frac{\vec{b}_k}{\vert\vec{b}_k\vert})$.