Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec a$, $\vec b$ ist definiert als $< \vec a, \vec b \gt := \vert \vec a \vert \cdot \vert \vec b \vert \cdot \cos \varphi$,wobei $\varphi$ der von $\vec a$ und $\vec b$ eingeschlossene Winkel ist.
(Man schreibt für das Skalarprodukt auch $\vec a \cdot \vec b$)

Man kann das Skalarprodukt auch aus den Koordinaten von $\vec a$ und $\vec b$berechnen (und auf diesem Weg den Winkel $\varphi$, den die Vektoren einschliessen, berechnen):

$< \vec a, \vec b \gt = \left( \begin{array} {c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}... ... \vert \vec a \vert \cdot \vert \vec b \vert \cdot \cos \angle(\vec a, \vec b)$

(Im $\,\,\textrm{l}\!\!\!\textrm{C}^n$: $< \vec x, \vec y \gt := x_1 \overline y_1 + \dots + x_n \overline y_n$)

Für das Skalarprodukt gelten folgende Zusammenhänge:

$< \vec a, \vec b \gt = < \vec b, \vec a \gt$      (Komplex: $< \vec x, \vec y \gt = \overline{< \vec y, \vec x \gt}$)

$< r \vec a, \vec b \gt = r < \vec a, \vec b \gt = <\vec a, r \vec b \gt$    für $r \in \textrm{I}\!\textrm{R}$

$<\vec a , \vec b + \vec c \gt = < \vec a, \vec b \gt + <\vec a, \vec c \gt$

$<\vec a, \vec a \gt = {\vec a}^2 = {\vert \vec a \vert}^2 \ge 0$

(im Komplexen: $< a \vec x + b \vec y , c \vec z \gt = a \overline c < \vec x, \vec z \gt + b \overline c <\vec y, \vec z \gt$)

(Bemerkung: Das Skalarprodukt kann anders definiert werden, solange die obenstehenden Eigenschaften erfüllt sind, siehe auch I, S 125ff)

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: $\vert < \vec a, \vec b \gt \vert \le \vert \vec a \vert \cdot \vert \vec b \vert$

Der Cosinus eines von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkels kann durch das Skalarprodukt definiert werden: $\cos \varphi := \frac{< \vec x, \vec y \gt}{\vert\vec x \vert \cdot \vert\vec y\vert}$