Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen

Zur Berechnung von Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen betrachtet man die polare (oder Eulersche) Darstellung.

Potenzen komplexer Zahlen:
Ist $z = r e^{i \varphi}$, dann ist $z^k = r^k e^{i k \varphi}$   ($k \in \textrm{I}\!\textrm{N}$).

Wurzeln komplexer Zahlen:
Formel von Moivre:
Für jede komplexe Zahl $b \ne 0$ hat die Gleichung $z^n = b = r e^{i \varphi}$genau n verschiedene Lösungen, nämlich die n  n-ten Wurzeln aus b.

Man berechnet sie folgendermaßen:

$z_k = \sqrt[n]{r}( \cos (\frac{\varphi + k \cdot 2 \pi}{n}) + i \sin (\frac{\varphi + k \cdot 2 \pi}{n}) )$

$z_k = \sqrt[n]{r} \, e^{i (\frac{\varphi + k \cdot 2 \pi}{n})}$

$z_k = e^{\frac{i k \cdot 2 \pi}{n} } \cdot \sqrt[n]{r} \, e^{\frac{i \varphi}{n} }$    für $k = 0, \dots, n - 1$

Die n-ten Wurzeln aus b liegen auf dem Kreis mit dem Radius $\sqrt[n]{r}$um den Nullpunkt. Sie bilden ein regelmäßiges n-Eck.