Partialbruchzerlegung (II, S. 178ff; R. S. 68ff)

Jede rationale Funktion

$$f(x)=\frac{a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}}$$

läßt sich als Summe von Partialbrüchen durch Partialbruchzerlegung (PBZ) darstellen. Dazu verwendet man diese Vorgehensweise:

1.

Durchdividieren bei
Ist die Funktion unecht gebrochen rational, so formt man diese zunächst durch Polynomdivision in eine Summe einer ganzrationalen und einer echt gebrochen rationalen Funktion um.

2.

Nenner zerlegen
Den Nenner der Funktion zerlegt man nun in seine reelle Produktdarstellung.
Dazu bestimmt man seine Nullstellen; hat der Nenner neben reellen Nullstellen x_oi auch komplexe Nullstellen z_0i, so treten diese stets zusammen mit ihren konjugiert komplexen Nullstellen auf und werden in der reellen Zerlegung als quadratische Polynome nach der Gleichung

$$x^{2}+c_{i}x+d_{i}=(x-z_{0i})(x-\overline{z_{0i}})$$

dargestellt.
Insgesamt sieht die reelle Zerlegung des Nenners so aus:

$$x^{m}+\ldots +b_{0}=(x-x_{01})^{r_{1}}\cdots (x-x_{k})^{r_{k... ...(x^{2}+c_{1}x+d_{1})^{s_{1}}\cdots (x^{2}+c_{l}x+d_{l})^{s_{l}}$$

wobei die r_i angeben, wie oft eine Nullstelle x_i aufgetreten ist; analog geben die s_i an, wie oft die komplexe Nullstelle z_i vorkam.

3.

Ansetzen der Partialbrüche
Nun kann man die Partialbrüche wie folgt anlegen:

$$f(x)=\frac{\cdots }{\cdots }=\frac{A_{11}}{a_n\cdot(x-x_{01}... ...}}{(x-x_{0k})^{1}}+\cdots +\frac{A_{kr_{k}}}{(x-x_{k})^{r_{k}}}$$

$$+\frac{B_{11}x+C_{11}}{(x^{2}+c_{1}x+d_{1})^{1}}+\cdots +\fr... ...ts +\frac{B_{ls_{l}}x+C_{ls_{l}}}{(x^{2}+c_{l}x+d_{l})^{s_{l}}}$$

4.

Koeffizientenvergleich
Um nun die Unbekannten A, B und C zu bestimmen, bringt man beide Seiten der Gleichung auf den Hauptnenner, ordnet die Zähler nach Potenzen und vergleicht die Koeffizienten. Man erhält dadurch ein LGS mit genausovielen Gleichungen wie Unbekannten; dieses ist stets eindeutig lösbar.