Bestimmung der Inversen von (n,n)-Matrizen

Um die Inverse zu einer Matrix A zu erhalten kann man mit dem Gaußschen Algorithmus die Gleichungssysteme lösen, die sich aus $A \cdot X = E$ ergeben.

Ein anderes Verfahren besteht darin, den Gaußschen Algorithmus auf die Matrix mit dem um die Einheitsmatrix erweiterten Tableau anzuwenden. Das erweiterte Tableau zu $A = \left( \begin{array} {cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ sieht so aus:

$$\left(\begin{array} {cccc} a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Nun wendet man den Algorithmus auf die linke Hälfte des Tableaus solange an, bis dort die Einheitsmarix entstanden ist; dabei werden die Operationen aber jeweils auf die gesamte Zeile ausgeführt. Hat man dieses Verfahren komplett durchgeführt, ist in der rechten Hälfte die Inverse Matrix entstanden:

$$\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & e & f \\ 0 & 1 & g & h... ...= \left(\begin{array} {cc} e & f \\ g & h \end{array} \right)$$

(A^-1 existiert genau dann, wenn $\vert A\vert \ne 0$. Die Berechnung von A^-1 kann bei $\vert A \vert \approx 0$ problematisch werden, z.B. bei ''Hilbert-Matrizen'')