Inhalt

• Inhalt
  • Vorwort
• Grundlagen
  • Beweismethoden
  • Binomialkoeffizienten
  • Kombinationen
  • Mengen
  • Abbildungen (Funktionen)
  • Permutationen (I, S.45ff)
    • zyklische Permutationen
• Zahlenfolgen, Grenzwerte (II, S. 81ff, R S. 328ff)
  • Zahlenfolgen
  • Konvergenz
  • Grenzwerte
• Unendliche Reihen (R S. 335ff)
  • Konvergenz
  • Rechenregeln für konvergente Reihen
  • Majorantenkriterium
  • Quotientenkriterium
  • Wurzelkriterium
  • Leibnizkriterium
  • Berechnung des Konvergenzradius von Potenzreihen (R S. 345)
• Polynome (ganzrationale Funktionen) (R S. 59ff)
  • Faktorisierung (Zerlegung in ein Produkt ''einfacher'' Polynome)
  • Fundamentalsatz der Algebra
  • Horner-Schema (R S. 66)
  • Interpolation
  • Rationale Funktionen (R S. 67)
    • Partialbruchzerlegung (II, S. 178ff; R. S. 68ff)
• Elementare Funktionen
  • Die Exponentialfunktion
  • Die natürliche Logarithmusfunktion
  • Rechenregeln zu Exponentialfunktionen und Logarithmen
  • Die trigonometrischen Funktionen
  • Inverse trigonometrische Funktionen (Arcusfunktionen)
  • Überlagerung von Schwingungen
    • Schwebungen (Überlagerung zweier Sinusschwingungen fast gleicher Frequenz)
  • Hyperbelfunktionen
    • Inverse Hyperbelfunktionen
• Komplexe Zahlen
  • Kartesische Darstellung (Gauß'sche Zahlenebene)
  • Gleichheit
  • Addition
  • Multiplikation
  • Division
  • Betrag einer komplexen Zahl
  • Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen
  • Eulersche Darstellung
  • Umformung zwischen kartesischer und polarer Darstellung
  • Rechnen mit komplexen Zahlen in Polarkoordinatenform
  • Die Funktion $\frac{1}{z}$
  • Konjugiert komplexe Zahlen
  • Gebiete und Kurven in der komplexen Zahlenebene
    • Kreise
    • Geraden
  • Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
  • Komplexe Logarithmusfunktion
• Vektoren (I, S. 106ff)
  • Addition von Vektoren
  • Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar
  • Vektoren in Koordinatendarstellung
  • Rechnen mit Vektoren in Koordinatendarstellung
  • Linearkombination, Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit
    • Linearkombination
    • Lineare Hülle
    • Lineare Unabhängigkeit
  • Konvexe Hülle
  • Norm (Betrag, Länge) von Vektoren
    • Andere Normen
  • Das Skalarprodukt
  • Basis, Dimension
    • Darstellen eines Vektors bezüglich einer neuen Basis
  • Orthogonale Basen
    • Schmidt'sches Orthogonalisierungsverfahren (R S. 130)
  • Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
    • Das Spatprodukt
    • Konstruktion von orthogonalen Basen im $\textrm{I}\!\textrm{R}^3$ (siehe I, S. 232ff)
• Geraden und Ebenen (R S. 137ff)
  • Geradengleichungen
  • Ebenengleichungen
    • Umformung von Ebenendarstellungen:
  • Abstände
  • Lote
  • Die Schnittmenge von geometrischen Objekten
• Matrizen
  • Rechnen mit Matrizen
  • Matrizenprodukt
  • Rechenregeln
  • Quadratische Matrizen, Spur
  • Spezielle Typen von Matrizen
    • Einheitsmatrix
    • Diagonalmatrix
    • Tridiagonalmatrix
    • Dreiecksmatrix
    • Symmetrische Matrix
    • Zyklische Matrizen
    • Stochastische Matrizen
    • Hilbert-Matrizen
    • Fouriermatrix
  • Rang einer Matrix
  • Inverse Matrix
    • Die Inverse einer (2, 2)-Matrix
    • Bestimmung der Inversen von (n,n)-Matrizen
  • Orthogonale Matrizen
  • Matrix-Norm
• Lineare Abbildungen
  • Orthogonale Abbildungen
    • Drehung im $\textrm{I}\!\textrm{R}^2$
    • Drehung im $\textrm{I}\!\textrm{R}^3$ (R S. 205)
  • Spiegelung an einer Ebene (R S. 203)
  • Kartesische Koordinatensysteme (I, S. 242ff)
    • Parallelverschiebung des Koordinatensystems
    • Drehung des Koordinatensystems
  • Nacheinanderausführung von linearen Abbildungen (R S. 199)
  • Homogene Koordinaten
• Determinanten (I, S. 157ff)
  • Allgemeine Definition
  • Schreibweisen
  • Berechnung
    • Allgemein (Leibniz)
    • Für (2,2)-Matrizen
    • Für (3,3)-Matrizen (Regel von Sarrus)
    • Entwicklung von Determinanten für (n, n)-Matrizen (I, S. 167ff)
  • Rechengesetze
  • Lösung von LGS mit Determinanten (Cramersche Regel)
• Lineare Gleichungssysteme (I, S. 141ff; R S. 244ff)
  • Bezeichnungen und Schreibweisen
  • Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen (R S. 245)
  • Umformungen von Gleichungssystemen
  • Lösungsverfahren für LGS
    • Gaußsches Eliminationsverfahren
    • Pivot-Verfahren
    • Cramersche Regel
  • Anwendung: Ausgleich nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
• Eigenwerte und Eigenvektoren (I, S. 206ff, R S. 209ff)
  • Eigenwertproblem
  • Charakteristisches Polynom
  • Eigenvektoren
  • Diagonalisierung von Matrizen (I, S. 206ff)
    • Ähnliche Matrizen
    • Diagonalisierung (R S. 215)
  • Eigenwerte und Eigenvektoren von symmetrischen/hermiteschen Matrizen
  • Jordan-Normalform (III, S. 165f)
    • Bestimmung von C
  • Spektralradius einer Matrix A
• Singulärwertzerlegung (SV-Zerlegung)
  • Konstruktion der Zerlegung
  • Anwendung: Lösung des Ausgleichsproblems mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
  • Anwendung: Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen
• Kegelschnitte und Flächen 2. Ordnung, Hauptachsentransformation (I, S. 272ff, R S. 219ff)
  • Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
    • Hauptachsentransformation
    • Klassifikation von Kegelschnitten
    • Eigenschaften von Kegelschnitten
  • Flächen 2. Ordnung (R S. 224)
    • Hauptachsentransformation
• Analysis
  • Stetigkeit (II, S. 102ff)
    • Zwischenwertsatz (II, S. 106)
    • Rechenregeln für stetige Funktionen
    • Links-/Rechtsseitige Stetigkeit
    • ''Hebbare Unstetigkeiten''
    • Lipschitz-Stetigkeit
  • Differenzierbarkeit (R S. 260ff)
  • Ableitungen (II, S. 108ff; R S. 260ff)
    • Definition:
    • Schreibweisen:
    • Ableitungsregeln
    • Regel von de l'Hospital
      • Zerlegungsformel
    • Differential einer Funktion (II, S. 222ff)
      • Anwendung: Fehlerrechnung (II, S. 225)
    • Mittelwertsatz der Differentialrechnung (II, S. 225ff)
    • Satz von Taylor (II, S. 239ff; R S. 354ff)
      • Konvergenz
      • Näherungsverfahren
    • Implizites Differenzieren (R S. 389ff)
    • Logarithmisches Differenzieren
  • Kurvendiskussion
  • Integralrechnung (II, S. 142ff; R S. 285ff)
    • Das Flächeninhaltsproblem
    • Allgemeine Definition des Integrals
    • Schreibweisen
    • Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung
    • Bestimmung von Stammfunktionen (II, S. 156ff)
    • Integration durch Substitution
    • Partielle Integration
    • Integration rationaler Funktionen durch Partialbruchzerlegung (R S. 68ff, R S. 289ff, II S. 178ff)
    • Uneigentliche Integrale (R S. 331ff, II S. 165ff)